De Kakeya aux nombres premiers
Extrait du livre
à la fin des années quatre-vingt-dix, un lien insoupçonné a été mis au jour entre le problème de Kakeya et la répartition des nombres premiers. Ce lien n’a pas permis la résolution de la conjecture mais a ouvert la voie à une nouvelle façon d’aborder le problème et a conduit les mathématiciens Jean Bourgain, Nets Katz, Izabella Laba et Terence Tao à une solution partielle.
La branche des mathématiques qui étudie les nombres entiers est ap- pelée l’arithmétique. Une question centrale de cette science est celle de la compréhension des nombres premiers. Les nombres premiers sont les nombres qui ne se divisent que par eux-mêmes et par un, ils sont inscrits en gras dans la liste ci-dessous.
1234567891011121314151617181920212223242526272829 303132333435363738394041424344...
Par exemple, le nombre 15 qui peut s’écrire 3 × 5 n’est pas un nombre premier alors que 7 en est un. Le nombre 1 par convention n’est pas premier. On sait depuis Euclide qu’il existe une infinité de nombres premiers mais cette infinité n’est pas régulièrement répartie. Il y a 168 nombres premiers entre 0 et 1000, il en reste 106 entre 10000 et 11000 et seulement 75 entre 1000000 et 1001000. Le phénomène de raréfaction des nombres premiers que l’on observe ici se poursuit indéfiniment. La démonstration rigoureuse de cette observation fut un grand problème de l’arithmétique du XIXe siècle, elle a finalement été résolue en 1896 par Jacques Hadamard et Charles Jean de La Vallée Poussin.
L’examen de la liste de nombres ci-dessus ne révèle aucun ordre parmi les nombres premiers, ils semblent apparaître de manière aléatoire, sans structure sous-jacente. Or, les nombres premiers ne sont justement pas des nombres tirés au hasard puisqu’ils obéissent à une définition précise. Ils sont les briques élémentaires qui, multipliées entre elles, vont former tous les nombres entiers. Il est donc naturel de penser qu’un certain ordre doit être présent dans la répartition de ces nombres.
La mise en évidence de structures dans l’ensemble des nombres premiers est d’ailleurs activement recherchée par les mathématiciens. Certaines d’entre elles peuvent être facilement entrevues en disposant les nombres entiers en colonnes judicieusement choisies. Ci-dessous, l’ensemble des nombres entiers est placé selon une grille comportant six lignes; au sein de cette grille, les nombres premiers, mis en évidence par des cases colorées, dessinent certains alignements.
