La peinture classique associe volontiers sagesse et âge mûr. Les savants grecs, dont on ne possède aucun portrait d’origine, ont tous été représentés sous les traits de nobles vieillards. Plus proches de nous, les portraits de grands penseurs comme Darwin, Einstein, Freud ou Pasteur donnent à voir des hommes relativement âgés. Il est vrai que la reconnaissance, ainsi que la plupart des récompenses scientifiques, dont le prix Nobel, sont généralement décernées aux savants vers la fin de leur carrière. Pourtant, bien souvent, les grandes découvertes, en particulier en mathématiques, sont le fait de très jeunes gens. Newton et Leibniz découvrent le calcul différentiel à l’âge de 23 et 29 ans respectivement. Et ce ne sont pas des cas isolés. Descartes, qui les a précédés, n’a que 23 ans lorsqu’il présente son principe de géométrie analytique, et Lindemann en a tout juste 30 lorsqu’il démontre à la fin du XIXe siècle l’impossibilité de la quadrature du cercle. Plus près de nous, Einstein publie pour la première fois sa théorie de la relativité à l’âge de 26 ans.

De nos jours, c’est souvent l’apanage de personnes jeunes que d’enlever les questions mathématiques laissées par leurs aînés. Et d’ailleurs, contrairement à ce qui a lieu dans les autres sciences, la plus haute distinction en mathématiques, à savoir la médaille Fields, a été conçue pour récompenser de jeunes personnes : elle ne peut être attribuée qu’à des scientifiques dont l’âge ne dépasse pas 40 ans. Ce prix, créé par le mathématicien Fields, est l’équivalent du prix Nobel en mathématiques. Il est décerné depuis 1936 et récompense tous les quatre ans des mathématiciens qui ont fait des découvertes de première importance.

À ce propos, si l’on devait absolument attribuer une paternité à cette découverte, il faudrait citer les nombreux autres mathématiciens qui les ont inspirés comme, par exemple, Fermat ou Pascal dont les travaux contiennent tous les germes du calcul différentiel. Leibniz, qui est venu aux mathématiques après avoir lu les œuvres de Pascal, a d’ailleurs déclaré que ce dernier avait eu « les yeux fermés comme par un sort » tant celui-ci touchait au but. En fait, comme cela est souvent le cas en science, cette invention une fois révélée paraît aussi simple et naturelle qu’elle a nécessité de labeur et de réflexion pour être élaborée. Elle est en cela un peu comparable à l’invention du zéro, qui fut en son temps une véritable révolution et qui apparaît aujourd’hui dans toutes sortes de contextes sans même que l’on y prête attention. Ainsi le calcul différentiel apparaît-il, lui aussi, dans d’innombrables situations souvent très éloignées de celles dont se préoccupaient Newton et Leibniz. La question de Kakeya peut être l’une de ces situations, elle nous donne l’occasion d’aborder cette grande invention.

  

Respect des limitations de vitesse

Un véhicule effectue un trajet d’une durée de 7 heures sur des portions d’autoroutes limitées à 110 km/h. On a représenté ci-dessous la distance d parcourue (en km) en fonction de la durée écoulée depuis le départ t (en heures).

1 Exploitation du graphique

 

1. Déterminer une valeur approchée de la vitesse moyenne (en km/h) de ce véhicule sur l’intégralité du parcours, au km/h près.

2. Ce seul calcul permet-il d’affirmer qu’aucun excès de vitesse n’a été commis durant le trajet ?

3. Par simple observation de la courbe ci-dessus, à quels moments au cours du trajet peut-on soupçonner un excès de vitesse ?

2 Vitesse instantanée du véhicule à l’instant t = 3
On peut modéliser la fonction f par l’expression f (t ) = −3t 3 + 32t 2 pour tout t ∈ [0 ; 7].

1. Calculer la vitesse moyenne (enkm/h) du véhicule entre les instants t1=3 et t2=3,5.

2. Élaborer un algorithme permettant de calculer la vitesse moyenne v du véhicule entre les

   deux instants t1 = 3 et t2 = 3 + h où h est un réel strictement positif entré par l’utilisateur.

3. On applique cet algorithme pour différentes valeurs de h.

   Donner une valeur approchée à 10−4 près de v pour chacune des valeurs de h suivantes :  h = 1 ; h = 0, 1 ; h = 0, 01 ; h = 0, 001 ; h = 0, 0001 et h = 0, 00001.

4. Quelle conjecture peut-on émettre ?

3 Avec des différentielles

On appelle différentielle de la variable t toute variation infiniment petite de t .

La notation habituelle est d t pour la différentielle de t .
Si t tend vers t0 alors d t représente la différence entre t0 et t : d t = t − t0.
On choisit t0 = 3 :

1. Calculer f(3) puis f(3+dt).
2. En déduire df = f(3+dt) − f(3).
3. df correspond à la vitesse instantanée du véhicule à l’instant t0 = 3.

4. Conclusion.